Контрольная работа на тему Контрольная работа 170108-07

Индивидуальные варианты
контрольного задания №1
«Парная линейная корреляция и регрессия»
А) По семи предприятиям имеются данные по объему производства (У) и стоимости основных фондов (X):
Вариант 1
№
1
2
3
4
5
6
7

X
25
26
29
30
31
32
33

У
232
236
242
249
253
253
258


Требуется:

Используя метод наименьших квадратов построить уравнение простой линейной регрессии (найти коэффициенты уравнения).
Рассчитав выборочный коэффициент парной корреляции, оценить тесноту линейной связи между переменными.
Рассчитать остаточную дисперсию.
Рассчитать факторную дисперсию.
С использованием критерия Фишера оценить значимость уравнения регрессии
С использованием критерия Стьюдента оценить значимость коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента парной корреляции.
С использованием построенного уравнения регрессии рассчитать теоретические значения исследуемого показателя
Используя построенное уравнение регрессии спрогнозировать ожидаемое значение результата (y) при увеличении максимального значения фактора на 50%.

Решение:


На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a
Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ?, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ?i, а и b соответственно оценки параметров ? и ? регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров ? и ? – используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
a•n + b?x = ?y
a?x + b?x2 = ?y•x
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)
x
y
x2
y2
x • y

25
232
625
53824
5800

26
236
676
55696
6136

29
242
841
58564
7018

30
249
900
62001
7470

31
253
961
64009
7843

32
253
1024
64009
8096

33
258
1089
66564
8514

206
1723
6116
424667
50877


Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 206 b = 1723
206 a + 6116 b = 50877
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 3.1941, a = 152.1436
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = 3.1941 x + 152.1436
Выборочные средние.






Выборочные дисперсии:




Среднеквадратическое отклонение




Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:




Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:



связь между объемом производства и стоимостью основных фондов весьма высокая и прямая.
Выдвигаем гипотезы:
H0: rxy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;
H1: rxy ? 0, есть линейная взаимосвязь между переменными;
Для того чтобы при уровне значимости ? проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ? 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки)


и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости ? и числу степеней свободы k = n – 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если tнабл < tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| > tкрит – нулевую гипотезу отвергают.


По таблице Стьюдента с уровнем значимости ?=0.05 и степенями свободы k=5 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;?/2) = (5;0.025) = 2.571
где m = 1 – количество объясняющих переменных.
Если |tнабл| > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку |tнабл| > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически – значим
В парной линейной регрессии t2r = t2b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 3.19 x + 152.14
Коэффицие