Контрольная на тему Контрольная работа 110620-08

ВОПРОСЫ ПО «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ»
Абсолютная и относительная погрешность.
Пусть имеется некоторая числовая величина, и числовое значение, которое ей присвоено
, считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения числовой величины (ошибкой)
понимают разность между точным и приближенным значением числовой величины:


Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное значение. Величина
называется известным приближением к точному значению числовой величины – любое число, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность.
Абсолютной погрешностью приближенного значения
называют величину
, про которую известно, что:


Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности.
Относительной погрешностью приближенного значения называют величину
, про которую известно, что:


Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.
Так как точное значение обычно неизвестно, то непосредственное вычисление величин абсолютной и относительной погрешностей по предложенным формулам невозможно. Более реальная и часто поддающаяся решению задача состоит в получении оценок погрешности вида:

(*)
где
и
– известные величины, которые называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.
Если величина
известна, то неравенство (*) будет выполнено, если положить


Точно так же если величина
известна, то следует положить:


Но поскольку точное значение
неизвестно, на практике используют приближенные равенства вида:



Число верных знаков. Связь с абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность часто выражается в процентах. Абсолютная и относительная погрешности тесно связаны с понятием верных значащих цифр. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, число 0,000129 имеет три значащих цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины веса разряда, соответствующего этой цифре. Например, число равно
, абсолютная погрешность числа равна
. Записывая число в виде

,
имеем
следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).
В общем случае


Где
– порядок (вес) старшей цифры,
– число верных значащих цифр.
В нашем примере


Относительная погрешность связана с количеством верных цифр приближенного числа соотношением


где
– старшая значащая цифра числа.
Для двоичного представления чисел имеем


Тот факт, что число
является приближенным значением числа
с абсолютной погрешностью
, записывают в виде


причем числа
и
записываются с одинаковым количеством знаков после запятой, например,
или



Учет погрешностей при функциональных вычислениях. Пример.
При вычислениях с плавающей точкой операция округления может потребоваться после выполнения любой из арифметических операций. Так умножение или деление двух чисел сводится к умножению или делению мантисс. Так как в общем случае количество разрядов мантисс произведений и частных больше допустимой разрядности мантиссы, то требуется округление мантиссы результатов. При сложении или вычитании чисел с плавающей точкой операнды должны быть предварительно приведены к одному порядку, что осуществляется сдвигом вправо мантиссы числа, имеющего меньший порядок, и увеличением в соответствующее число раз порядка этого числа. Сдвиг мантиссы вправо может привести к потере младших разрядов мантиссы, т. е. появляется погрешность округления.
Будем обозначать округленное в системе с плавающей точкой число, соответствующее точному числу
, через
(от англ. floating – плавающий). Известно, что выполнение каждой арифметической операции вносит относительную погрешность, не большую, чем погрешность представления чисел с плавающей точкой. Тогда можно записать

,
где ? – любая из арифметических операций,
.
Рассмотрим трансформированные погрешности арифметических операций. Будем считать, что арифметические операции проводятся над приближенными числами, ошибку арифметических операций учитывать не будем.
Рассмотрим сложение и вычитание приближенных чисел. Известно, что абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Действительно, пусть сумма точных чисел равна

,
сумма приближенных чисел равна

,
где
– абсолютные погрешности представления чисел.
Тогда абсолютная погрешность суммы равна


Относительная погрешность суммы нескольких чисел равна


где
– относительные погрешности представления чисел.
Отсюда следует, что относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и того же знака заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых

.
При сложении чисел разного знака или вычитании чисел одного знака относительная погрешность может быть очень большой (если числа близки между собой). Так как даже при малых величина может быть очень малой. Поэтому вычислительные алгоритмы необходимо строить таким образом, чтобы избегать вычитания близких чисел.
Кроме того погрешности вычислений зависят от порядка вычислений.
Рассмотрим пример сложения трех чисел.


При другой последовательности действий погрешность будет другой


Из ( ) видно, что результат выполнения некоторого алгоритма, искаженный погрешностями округлении, совпадает с результатом выполнения того же алгоритма, но с неточными исходными данными. Т.е. можно применять обратный анализ, т.е. свести влияние погрешностей округления к возмущению исходных данных.
Т.е. вместо ( ) можно записать:


При умножении и делении приближенных чисел складываются и вычитаются их относительные погрешности.


с точностью величин второго порядка малости относительно
.
Тогда
.
Если
то



При большом числе n арифметических операций можно пользоваться приближенной статистической оценкой погрешности арифметических операций, учитывающей частичную компенсацию погрешностей разных знаков


где
– суммарная погрешность,
– погрешность выполнения операций с плавающей точкой,
– погрешность представления чисел с плавающей точкой.
Производя различные математические действия с приближенными числами, пользуются следующими правилами подсчета значащих цифр. При соблюдении этих правил можно считать, что в среднем полученные результаты будут иметь все знаки верными, хотя иногда возможна ошибка в несколько единиц последнего знака.
1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.
2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр.
3. При возведении в степень в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число.
4. Во всех промежуточных результатах следует сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила; в окончательном результате эта «запасная цифра» отбрасывается.
5. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков или значащих цифр, чем другие, их предварительно следует округлить, сохраняя только одну лишнюю цифру.
6. Если некоторые данные (обычно табличные) можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с n цифрами эти данные следует брать с n+1 цифрами.
Погрешность элементарных арифметических действий изучается в теории погрешности. Учесть погрешность округления при большом количестве арифметических действий практически невозможно.
Есть случайные и систематические источники погрешности округления.
Случайные источники обычно компенсируют друг друга.
Например:




Знаки
случайны и компенсируют друг друга при большом n.
Систематические источники вызывают накопление погрешности округления. Они являются дефектом структуры вычислений (алгоритма).
Пример
Требуется вычислить:


Сложим эти числа столбиком и, округлив результат до 3-х значащих цифр, получим значение с:
0,476
0,411
1,47
26,2
83,
111,557 ( 112.

ЭВМ выполняет действия поочередно (складывает пару чисел) и округляет результат после каждого действия.
Выполним суммирование слева направо в порядке записи (как ЭВМ):
+ 0,476 + 0,887 + 2,36 + 28,6
0,411 1,47 26,2 83,

0,887 ( 0,887 2,357(2,36 28,56 (28,6 111,6 ( 112.
Пусть теперь выражение записано в обратном порядке:


Выполним суммирование как ЭВМ:
+ 83 + 109 + 110 + 110
26,2 1,47 0,411 0,476

109,2 ( 109 110,47 ( 110 110,411 ( 110 110,476 ( 110
От перестановки слагаемых сумма изменилась, то есть


Погрешность функции, зависящей от одной переменной:
• абсолютная погрешность

•