Контрольная на тему КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА - 130413-01

Контрольная работа № 1

Задание 1. Найти интегралы

1.







2.


Используем способ подведения под знак дифференциала:



3.


Используем способ подведения под знак дифференциала:






4.


Используем способ подведения под знак дифференциала:



5.


Сделаем подстановку


Тогда интеграл запишем в виде


Последний интеграл табличный:


Переходя к исходной переменной, получим



6.


Сделаем подстановку


Тогда интеграл запишем в виде


Последний интеграл табличный:


Переходя к исходной переменной, получим



7.


Сделаем подстановку


Тогда интеграл запишем в виде


Последний интеграл табличный:


Переходя к исходной переменной, получим



8.


Используем способ интегрирования по частям:






Тогда интеграл запишем в виде:





9.


Используем способ интегрирования по частям:




Тогда интеграл запишем в виде:





10.


Сделаем подстановку


Тогда интеграл запишем в виде




Задание 2. Найти интегралы

1.



Используем формулу тригонометрии:


Тогда подинтегральное выражение запишем в виде


Интеграл примет вид





2.


Используем формулу тригонометрии понижения степени:


Тогда интеграл запишем в виде:



3.


Сделаем подстановку:


Тогда интеграл запишем в виде:




Возвратимся к исходной переменной:



4.


Используем универсальную тригонометрическую подстановку:


Подставим в интеграл:






Вернёмся к исходной переменной:






5.


Запишем интеграл в виде:


Разложим квадратный трёхчлен на множители. Для этого определим корни квадратного уравнения
.




Тогда получим разложение:


Интеграл примет вид:


Для вычисления последнего интеграла разложим правильную рациональную дробь под интегралом на простейшие дроби:


Приведём к общему знаменателю:


Раскроем скобки и приведём подобные члены с одинаковыми степенями
:




Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях
слева и справа от полученного равенства:






Из последнего уравнения находим
. Тогда первые два уравнения запишем в виде:




Или




Вычтем второе уравнение из первого:


Тогда из первого уравнения следует
.
Таким образом, получаем разложение:


Тогда интеграл запишем в виде:









6.


Нетрудно убедиться, что
является корнем уравнения
. Тогда можем записать следующее разложение знаменателя функции под интегралом на множители:


Раскроем скобки и сгруппируем члены с одинаковыми степенями
:


Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях
слева и справа от полученного равенства:








Из второго уравнения находим
. Тогда разложение примет вид:


При этом интеграл запишем в виде:


Для вычисления последнего интеграла разложим правильную рациональную дробь под интегралом на простейшие дроби:


Приведём к общему знаменателю:


Раскроем скобк