1.16. Линейная производственная задача.
Линейная производственная задача – это задача о рациональном использовании имеющихся ресурсов, для решения которой применяют методы линейного программирования. В общем виде задача может быть сформулирована следующим образом:
Предположим, предприятие или цех может выпускать видов продукции, используя видов ресурсов. При этом известно количество каждого вида ресурса, расход каждого вида ресурса на выпуск каждого вида продукции, прибыль, получаемая с единицы выпущенной продукции. Требуется составить такой план производства продукции, при котором прибыль, получаемая предприятием, была бы наибольшей.
Примем следующие обозначения:
Номер ресурса (i=1,2,…,m)
Номер продукции (j=1,2,…,n)
Расход i-го ресурса на единицу j-ой продукции
Имеющееся количество i-го ресурса
Прибыль на единицу j-ой продукции
Планируемое количество единиц j-ой продукции
Искомый план производства
Таким образом, математическая модель задачи состоит в том, чтобы найти производственную программу максимизирующую прибыль:
При этом, какова бы ни была производственная программа , ее компоненты должны удовлетворять условию, что суммарное использование данного вида ресурса, при производстве всех видов продукции не должно превышать имеющееся количество данного вида ресурса, т.е.
, где
А так как компоненты программы – количество изделий, то они не могут быть выражены отрицательными числами, следовательно добавляется еще одно условие:
, где
В нашем случае:
Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:
Найти производственную программу максимизирующую прибыль:
при ограничениях по ресурсам:
где по смыслу задачи: , , ,
Решим задачу симплекс-методом.
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м