Контрольная на тему Контрольная работа 121230-01-3

Задача 1
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.
Завод – производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей – X и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4 000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа X требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y – 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2 250 деталей типа X и 1 750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа X требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10 000 кг в неделю. Кроме того еженедельно завод поставляет 600 деталей типа X своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1 500 штук.
Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа X составляет 30 ден. ед., а от производства одной детали типа Y – 40 ден. ед.?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдёт, если решать задачу на минимум, и почему?
Решение
Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим
,
-количество производимых деталей типа
и
соответственно.
Для производства одной детали типа X требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y – 2 чел.-ч., при этом завод располагает фондом рабочего времени в 4 000 чел.-ч в неделю., т.е.
.
Мощности завода позволяют выпускать максимум 2 250 деталей типа X и 1 750 деталей типа Y в неделю, при этом в соответствии с профсоюзным соглашением общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1 500 штук, т.е.:
;
;
.
Так же 600 ед. - минимум деталей типа X , т.к. еженедельно завод поставляет их своему постоянному заказчику, т.е.
.
Уровень запасов каждого вида металла - металлических стержней и листового металла, составляет 10 000 кг в неделю, при этом металлических стержней деталь типа X требует 2 кг, деталь типа Y - 5 кг, листового металла деталь типа X - 5 кг, деталь типа Y - 2 кг, т.е.:
;
.
Таким образом, связь между запасами ресурсов и их потреблением выразится системой ограничений:














Кроме того, количество производимых деталей не может быть отрицательным:
.
Общий доход завода за неделю при условии, что стоимость одной детали типа X составляет 30 ден. ед., а одной детали типа Y - 40 ден. ед., составит:


Итак, экономико-математическая модель задачи: найти оптимальный план выпуска продукции
, удовлетворяющий системе ограничений производства и условию неотрицательности
, при котором общий доход завода за неделю будет максимальным, т.е. целевая функция:

.
Решим задачу графически:


Рис.1.1. Графическое решение задачи
Для этого в системе координат
на плоскости изобразим график целевой функции при
и граничные прямые полуплоскостей, ограничивающих область решений (рис.1.1):
;
;
;
;
;
;
.
Многоугольником решений данной задачи является ограниченный пятиугольник ABCDE. Направление роста целевой функции показывает вектор-градиент
=(30;40). Прямую Z = 0 перемещаем параллельно самой себе в заданном направлении. Крайней точкой является точка A, лежащая на пересечении прямых AE и AB и ее координаты можно найти с помощью решения системы:




Из второго уравнения системы:


Подставив
во второе уравнение системы:















ден.ед.
Таким образом, чтобы получить максимальную прибыль в размере 95000 ден.ед., необходимо запланировать производство 1500 деталей типа X и 1250 деталей типа Y, т.е. оптимальный план

Если решать задачу на минимум, прямую Z = 0, аналогично, перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора
=(30;40). Она впервые коснется многогранника решений угловой точке С(1500;0). Если прямую перемещать дальше в направлении вектора
, то значения линейной функции на многограннике решений возрастут, значит, в точке C линейная функция