Контрольная работа на тему Контрольная работа 140104-02

Задача №1.
По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:
Таблица №1.
Территории федерального округа
Оборот розничной торговли, млрд. руб., Y
Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел., X

1. Респ. Адыгея
2,78
0,157

2. Респ. Дагестан
9,61
0,758

3. Респ. Ингушетия
1,15
0,056

4. Кабардино-Балкарская Респ.
6,01
0,287

5. Респ. Калмыкия
0,77
0,119

6. Карачаево-Черкесская Респ.
2,63
0,138

7. Респ. Северная Осетия – Алания
7,31
0,220

8. Краснодарский край
54,63
2,033

9. Ставропольский край
30,42
1,008

10. Астраханская обл.
9,53
0,422

11. Волгоградская обл.
18,58
1,147

12. Ростовская обл.
60,59
1,812

Итого, (
204,01
8,157

Средняя
17,001
0,6798

Среднее квадратическое отклонение, (
19,89
0,6550

Дисперсия, D
395,59
0,4290


Задание:
1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.
2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.
3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции
и линейно-логарифмической функции

4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (ryx и ?ylnx) и детерминации (r2yx и ?2ylnx), проанализируйте их значения.
Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости (=0,05.
На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.
7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (
), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ?'ср., оцените её величину.
8. Рассчитайте прогнозное значение результата
, если прогнозное значение фактора (
) составит 1,023 от среднего уровня (
).
9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для (=0,05), определите доверительный интервал прогноза (
;
), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (
), оцените точность выполненного прогноза.
Решение:
1.Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора
. См. табл. 2. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи оборота розничной торговли (Y) с общей суммой доходов населения (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.
Таблица №2.

Территории федерального округа
Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.
Оборот розничной торговли, млрд. руб.


А





1
Респ. Ингушетия
0.056


2
Респ. Калмыкия
0.119
0.77

3
Карачаево-Черкесская Респ.
0.138
2.63

4
Респ. Адыгея
0.157
2.78

5
 Респ. Северная Осетия – Алания
0.22
7.31

6
 Кабардино-Балкарская Респ.
0.287
6.01

7
Астраханская обл.
0.422
9.53

8
Респ. Дагестан
0.758
9.61

9
Ставропольский край
1.008
30.42

10
Волгоградская обл.
1.147
18.58

11
 Ростовская обл.
1.812
60.59

12
Краснодарский край
2.033
54.63


Итого, (
8.157
204.01


Средняя
0.680
17.001


Среднее квадратическое отклонение, (
0.6550
19.89


Дисперсия, D
0.4290
395.59

2. Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой:
, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.
3. Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, оносительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка ?, ?а0 и ?а1 Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.3.
Расчётная таблица №3
№

















А
1
2
3
4
5
6
7
8

1
0.056
1.15
0.00
0.06
-1.15
2.30
5.30
13.54

2
0.119
0.77
0.01
0.09
0.68
0.09
0.01
0.52

3
0.138
2.63
0.02
0.36
1.23
1.40
1.95
8.21

4
0.157
2.78
0.02
0.44
1.79
0.99
0.99
5.84

5
0.22
7.31
0.05
1.61
3.62
3.69
13.61
21.70

6
0.287
6.01
0.08
1.72
5.57
0.44
0.19
2.58

7
0.422
9.53
0.18
4.02
9.50
0.03
0.00
0.17

8
0.758
9.61
0.57
7.28
19.28
-9.67
93.50
56.88

9
1.008
30.42
1.02
30.66
26.56
3.86
14.93
22.73

10
1.147
18.58
1.32
21.31
30.60
-12.02
144.51
70.71

11
1.812
60.59
3.28
109.79
49.96
10.63
113.08
62.55

12
2.033
54.63
4.13
111.06
56.39
-1.76
3.09
10.34

Итого
8.157
204.01
10.69
288.42
204.03
-0.02
391.16
275.77

Средняя
0.680
17.001
—
—
—
—
—
22.98

Сигма
0.655
19.89
—
—
—
—
—
—

Дисперсия, D
0.429
395.59
—
—
—
—
—
—

?=
61.74
—
—
—
—
—
—
—

?а0=
-171.78


-2.782
—
—
—
—
—

?а1=
1796.93


29.105
—
—
—
—
—

3. Расчёт определителя системы выполним по формуле:

12*10.69 – 8.157*8.157 = 61.74;
Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

204.01*10.69 – 288.42*8.157 = -171.78.
Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

12*288.42 – 204.01*8.157 = 1796.93.
4.Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:



В конечном счёте,
получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:


В уравнении коэффициент регрессии а0 = -2.782 означает, что при увеличении среднегодовой численности занятых в экономике на 1 млн.чел. (от своей средней) объём розничного товарооборота снизится на 2,782 млрд. руб. (от своей средней).
Свободный член уравнения а0 =29,105 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объём розничного товарооборота.
5.Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:


В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:


Это означает, что при изменении среднегодовой численности занятых в экономике на 1% от своей средней оборот розничной торговли увеличивается на 1,164 процента от своей средней.
6. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:




Коэффициент корреляции, равный 0,9585, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между среднегодовой численности занятых в экономике за год и оборотом розничной торговли за год. Коэффициент детерминации, равный 0,919, устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 91,9% из 100% предопределена вариацией среднегодовой численности занятых в экономике; роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 8,1%, что является сравнительно небольшой величиной.
7.Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе
, то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости ?=0,05).
В нашем случае,
. Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата в 1,14 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия оборота розничной торговли и общей суммы доходов населения. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия:
при степенях свободы d.f.1=k-1=1 и d.f.2=n-k=12-2=10 и уровне значимости ?=0,05.
Значения
представлены в таблице «Значения F-критерия Фишера для уровня значимости 0,05». См. приложение 1 данных «Методических указаний…».
В силу того, что
, нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости оборота розничной торговли от среднегодовой численности занятых в экономике и её параметрах можно принять.
8. Определим теоретические значения результата Yтеор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчёт.
Например,
. См. гр. 5 расчётной таблицы. По парам значений Yтеор. и Xфакт. строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.
9. Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:

.
В нашем случае скорректированная ошибка аппроксимации составляет 22.98%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения
).
График 1
10. Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции