Контрольная работа на тему Исследование операций в экономике предприятий организаций 2

Содержание


Задача 1 3
Задача 2 7
Задача 3 17
Задача 4 49
Задача 5 57
Задача 6 60
Задача 7 63
Задача 8 70

Задача 1

Задача формулируется для вагоноремонтных депо, которые в состоянии ремонтировать пять типов вагонов: полувагоны, крытые, платформы, вагоны-хопперы и цистерны. Предположим, что в производственном процессе используется пять видов ресурсов: рабочая сила, материалы, фонд времени ремонтных позиций, специальные запасные части и электроэнергия. Нормы расхода ресурсов на ремонт одного вагона по типам единые для всех вариантов задания представлены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Ресурсы
Нормы расхода ресурсов на один вагон


полувагон
крытый
платформа
хопердозатор
цистерна

Раб. сила, чел.час
180
205
160
336
170

Материалы, тыс. руб.
28
27
26
54
27

Фонд времени, час
17
18
16
30
17

Специальные запчасти, тыс. руб.
0
0
0
15
10

Электроэнергия, тыс. квт•час
1,5
1,4
0,9
1,6
1,2


Данные о размерах прибыли на 1 отремонтированный вагон и объемах ресурсов на предприятии приведены по вариантам в табл. 3 и 4.

Таблица 1.3
Номер
варианта
Прибыль на 1 вагон, тыс. руб.


полувагон
крытый
платформа
хопердозатор
цистерна

5
7,1
8.1
7,0
15,5
6,8




Решение:

x1
x2
x3
x4
x5




переменные
0
931,33
2186,7
333,333
0




Раб. сила, чел.час
180
202
160
336
170
650000
<=
650000

Материалы, тыс. руб.
28
27
26
54
27
100000
<=
100000

Фонд времени, час
17
18
16
30
17
61751,07
<=
125000

Специальные запчасти, тыс. руб.
0
0
0
15
10
5000
<=
5000

Электроэнергия, тыс. квт•час
1,5
1,4
0,9
1,6
1,2
3805,222
<=
6300


Целевая функция









7,1
8,1
7
15,5
6,8
=
28017,3















Оптимальный план можно записать так:
x1 = 0, x2 = 931.33, x3 = 2186.695, x4 = 333.333, x5 = 0
F(X) = 7.1•0 + 8.1•931.33 + 7•2186.695 + 15.5•333.333 + 6.8•0 = 28017.31
при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы фонда времени в количестве 63248.93
при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы электроэнергии в количестве 2494.78

Задача 2

Железнодорожный транспорт в больших объемах потребляет разнообразные запасные части для поддержания активной части своих производственных фондов в работоспособном состоянии. Запасные части для предприятий железнодорожного транспорта изготавливаются на заводах по ремонту подвижного состава и производству запасных частей и других специализированных предприятиях. Снижение издержек, связанных с обеспечением предприятий железнодорожного транспорта запасными частями весьма актуально. Учитывая большую протяженность железных дорог России, эта задача должна решаться комплексно как для производственной, так и для транспортной составляющей затрат. Для решения этой задачи с успехом может быть использована экономико-математическая модель так называемой «Транспортной задачи линейного программирования» [1, 3, 9]. В частности ее разновидность – открытая модель транспортной задачи. Для построения экономико-математической модели рассматриваемой задачи введем следующие обозначения:
Аi – производственные мощности предприятий по производству запасных частей по пунктам размещения i;
Вj – потребности в запасных частях в пунктах j;
Хij – объемы перевозок запасных частей между пунктами производства и пунктами потребления i,,j;
Зi – затраты на производство единицы (удельные затраты) запасных частей у предприятий по пунктам i;
Сij – затраты на транспортировку единицы запасных частей между пунктами производства и потребления;
аi – загрузка производственных мощностей предприятий по производству запасных частей по пунктам размещения i.
Исходная информация для решения задачи включает в себя показатели, входящие в модель 2.1–2.5. Среди них можно выделить три группы исходных данных.
Первая группа – это показатели производственных мощностей по пунктам их размещения. К ним относятся собственно мощности предприятий по производству запасных частей – Аi и удельные затраты на производство – Зi. Мощности предприятий приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4
Ai
Мощности по производству запасных частей в тоннах по вариантам


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

A1
490
500
550
670
1000
450
670
540
640
570

A2
380
350
690
500
390
600
300
760
290
930

A3
600
640
370
850
740
840
880
580
850
810

A4
750
850
950
450
600
760
490
670
700
350

A5
800
700
450
620
520
620
750
450
580
490


Удельные затраты на производство рассчитываются по формуле:


(тыс. руб.). (2.6)

Вторая группа показателей – это потребности в запасных частях по пунктам размещения потребителей в тоннах – Вj. Эти данные по вариантам приведены в табл. 2.5.
Третья группа показателей – это затраты на транспортировку запасных частей между пунктами производства и потребления на рассматриваемом полигоне железнодорожной сети. Полигон железнодорожной сети представлен табл. 2.6. Применительно к заданному полигону по вариантам задаются номера узлов железнодорожной сети, в которых размещены предприятия по производству запасных частей (индексы i), и номера узлов, в которых размещены потребители запасных частей (индексы j) (табл. 2.7).
Расчет минимальных транспортных затрат между пунктами производства и потребления осуществляется по формуле:


(тыс. руб.), (2.7)

где е – расходная ставка на 10 ткм. Для рассматриваемого рода груза принимается равной 80 руб.; L – минимальное расстояние, рассчитываемое для заданного полигона между пунктами производства и потребления, км.

Таблица 2.5
Пункты потребления j
Потребности пунктов потребления по вариантам (т)


1
2
3
4
5
6

1
470
540
240
390
480
460

2
330
290
430
600
340
840

3
560
420
620
350
560
430

4
610
600
320
780
500
590

5
220
310
790
620
700
300

6
650
460
600
370
210
450

7
490
720
400
410
520
510

8
670
860
610
650
670
680

9
700
450
730
720
790
520

10
460
300
540
300
460
400


Таблица 2.6
Номера узлов
1–2
1–3
1–4
2–3
2–6
2–10
3–5
3–7
3–8
4–5

Расстояние, км
110
75
90
160
69
130
150
170
130
98

Номера узлов
5–8
5–9
6–7
6–10
7–8
7–11
8–9
8–12
7–8
7–11

Расстояние, км
49
112
125
98
117
135
100
95
117
135

Номера узлов
8–9
8–12
9–12
9–13
10–11
10–14
11–12
11–14
12–13
12–15

Расстояние, км
100
95
110
113
95
117
150
105
190
170

Номера узлов
13–15
14–15
14–16
15–16







Расстояние, км
200
140
79
130








Таблица 2.7
Варианты
Номера узлов размещения мощностей – индексы i
Номера узлов размещения потребителей – индексы j

1
1
8
10
13
16
2
3
5
6
7
9
11
12
14
15

2
3
5
6
13
14
1
2
4
7
8
9
10
11
12
16

3
2
4
7
9
15
3
5
8
6
10
11
12
13
14
16

4
1
5
6
11
16
2
3
7
8
9
10
12
13
14
15


Решение:
Экономико-математическая модель может быть сформулирована следующим образом: найти совокупность переменных аi, минимизирующих целевую функцию F.


(2.1)

После некоторых преобразований формула (2.1) принимает вид:


.

На целевую функцию накладываются следующие ограничения:


Хij = аi, i = 1,2,…,m; (2.2)

Хij = Вj, j = 1,2,…,n; (2.3)

Аi >
Вj (2.4)

аi, Хij > = 0 для всех значений индексов (2.5)
Ограничения 2.2 и 2.3 называются балансовыми. Они показывают, что вся произведенная продукция по пунктам размещения мощностей должна быть вывезена – ограничение 2.2, а спрос потребителей должен быть полностью удовлетворен – ограничение 2.3. Ограничение 2.5 показывает, что суммарная мощность всех предприятий должна превышать общие потребности. Это весьма важно, поскольку при равенстве задача оптимизации теряет смысл, так как будет иметь место только один вариант решения, при стопроцентной загрузке мощностей. Из ограничений 2.2 и 2.3 следует, что


а =
В.

А из ограничения 2.5:


А >
а.

Ограничение 2.5 называется ограничением неотрицательности переменных.
Показатели, характеризующие производственные мощности, имеют следующие значения:
А1 = 980 т; А2 = 760 т; А3 = 1200 т; А4 = 1500 т; А5 = 1600 т;
З1= 72 тыс. руб.;З2 = 81 тыс. руб.; З3 = 66 тыс. руб.; З4 = 61 тыс. руб.; З5 = 60 тыс. руб.
Потребности в пунктах потребления:
В1 = 470 т; В2 = 330 т; В3 = 560 т; В4 = 610 т; В5 = 220 т.; В6 = 650 т.; В7 = 490 т.; В8 = 670 т.; В9 = 700 т.; ; В10 = 460 т.
Затраты на транспортировку одной тонны запасных частей между пунктами производства и потребления представлены в матрице (табл. 2.1).

Таблица 2.1
Номера пунктов производства i
Номера пунктов потребления j


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1
182
147
69
64
56
77
66
66
67
68

2
81
85
63
72
80
167
92
167
97
59

3
66
65
82
59
66
62
156
219
178
62

4
61
59
57
75
75
64
72
65
64
286

5
60
63
75
68
70
72
63
75
72
74


На основе модели 2.1–.5 применительно к нашему примеру строим матрицу, отражающую особенности решаемой задачи. При этом следует учитывать, что ограничение 2.4 соответствует открытой модели транспортной задачи. В процессе ее решения открытая модель сводится к закрытой за счет искусственной балансировки ресурсов и потребностей. Для этого в модель вводится фиктивный потребитель и ему назначается спрос равный разнице суммарных мощностей и потребностей:


.

Матрица, отражающая особенности решаемой задачи, принимает следующий вид (табл. 2.2).

Таблица 2.2
Мощности



Потребности Вj













Фикт. потр.

Аi
В1=470
В2=330
В3=560
В4=610
В5=220
В6=650
В7=490
В8=670
В9=700
В10=460
Вф = 800



182

147

69

64

56

77

66

66

67

68

0

А1 = 490

























81

85

63

72

80

167

92

167

97

59

0

А2 = 380

























66

65

82

59

66

62

156

219

178

62

0

А3 = 600

























61

59

57

75

75

64

72

65

64

286

0

А4 = 750

























60

63

75

68

70

72

63

75

72

74

0

А5 = 800
























По строкам матрицы отражены мощности по производству запасных частей. По столбцам отражены потребители и их спрос. В клетках матрицы, в маленьких квадратиках, представлены показатели критерия оптимальности модели – суммарные затраты на производство и транспортировку продукции между предприятиями и потребителями. В столбце фиктивного потребителя показатели критерия оптимальности приравниваются нулю. Объемы перевозок между пунктами производства и потребления, которые находятся в результате решения, помещаются в клетки матрицы.
Сформулированная таким образом задача решается с помощью одного из известных алгоритмов транспортной задачи линейного программирования. Для ручного решения может быть рекомендован так называемый метод потенциалов в матричной постановке [1, 3, 5]. Тем не менее, даже для относительно небольших матриц решение транспортной задачи вручную весьма трудоемко. Рекомендуется использовать для этой цели средство EXCEL «Поиск решения».
Рассмотрим технологию использования «Поиска решения» на рассматриваемом примере.
Вначале вводятся исходные данные (рис. 9).

Исходные данные












470
330
560
610
220
650
490
670
700
460
880

980
72
72
69
64
56
77
66
66
67
68
0

760
81
85
63
72
80
67
92
72
97
59
0

1200
66
65
82
59
66
62
61
69
61
62
0

1500
61
59
57
75
75
64
72
65
64
86
0

1600
60
63
75
68
70
72
63
75
72
74
0

















Минимальные затраты составят: F(x) = 64*90 + 56*220 + 66*670 + 67*60 + 59*460 + 0*240 + 59*520 + 61*680 + 59*330 + 57*560 + 64*590 + 64*20 + 60*470 + 63*490 + 0*640 = 315120
Анализ оптимального плана.
Из 1-го необходимо груз направить в 4-й (90), в 5-й (220), в 8-й (670)
Из 2-го необходимо груз направить в 6-й (60), в 10-й (460)
Из 3-го необходимо груз направить в 4-й (520), в 9-й (680)
Из 4-го необходимо груз напр