Контрольная работа на тему Контрольная работа 150115-11

Задача 1

Зависимость среднемесячной производительности труда yi от стажа работы xi представлена в таблице:

xi,
лет
yi, р.

0
1900

0
1580

0
1470

1
1800

1
1620

1
2140

2
1800

2
2000

3
2300

4
2520

4
2380

Задание
Спланировать зависимость производительности труда от стажа работы, определив коэффициент корреляции, среднеквадратические отклонения и t– критерий Стьюдента. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

решение:

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a
Система нормальных уравнений.
a•n + b?x = ?y
a?x + b?x2 = ?y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
11a + 18 b = 21510
18 a + 52 b = 39660

Домножим уравнение (1) системы на (-1.64), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-18a -29.52 b = -35276.4
18 a + 52 b = 39660
Получаем:
22.48 b = 4383.6
Откуда b = 197.9032
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
11a + 18 b = 21510
11a + 18 • 197.9032 = 21510
11a = 17947.74
a = 1631.6129
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 197.9032, a = 1631.6129
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = 197.9032 x + 1631.6129

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)


x
y
x2
y2
x • y

0
1900
0
3610000
0

0
1580
0
2496400
0

0
1470
0
2160900
0

1
1800
1
3240000
1800

1
1620
1
2624400
1620

1
2140
1
4579600
2140

2
1800
4
3240000
3600

2
2000
4
4000000
4000

3
2300
9
5290000
6900

4
2520
16
6350400
10080

4
2380
16
5664400
9520

18
21510
52
43256100
39660



1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.



Выборочные дисперсии:


Среднеквадратическое отклонение



Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:


1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
tкрит (n-m-1;?/2) = (9;0.025) = 2.262


Поскольку 5.05 > 2.262, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).


Поскольку 19.16 > 2.262, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Задача 2
По различным регионам Российской Федерации накоплена следующая статистическая информация.
Район
Средняя
заработная плата уi, тыс. р.
Прожиточный минимум
в среднем на душу населения хi, тыс. р.

1
2
3
4
5
6
7
655
777
514
653
556
623
632
389
438
387
424
407
404
407

Задание
Спрогнозировать зависимость прожиточного минимума от средней заработной платы, оценить модель через ошибку аппроксимации, предварительно рассчитав параметры линейной функции и коэффициент корреляции.
По полученным результатам сделать выводы и оформить результаты расчета в виде аналитической записки.

Решение:


Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a
Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ?, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ?i, а и b соответственно оценки параметров ? и ? регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров ? и ? – используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
a•n + b?x = ?y
a?x + b?x2 = ?y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 2859 b = 4510
2859 a + 1169777 b = 1848778

Домножим уравнение (1) системы на (-408.43), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-2859a -1167701.37 b = -1842019.3
2859 a + 1169777 b = 1848778
Получаем:
2075.63 b = 6758.7
Откуда b = 3.2529
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
7a + 2859 b = 4510
7a + 2859 • 3.2529 = 4510
7a = -4790.1
a = -684.2995
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 3.2529, a = -684.2995
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = 3.2529 x + 684.2995

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)


x
y
x2
y2
x • y

389
655
151321
429025
254795

438
777
191844
603729
340326

387
514
149769
264196
198918

427
653
182329
426409
278831

407
656
165649
430336
266992

404
623
163216
388129
251692

407
632
165649
399424
257224

2859
4510
1169777
2941248
1848778



1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.



Выборочные дисперсии: