Контрольная работа
Тема 1. Математический анализ
Задание 1
1) Найти производные первого и второго порядков для заданной функции.
2)Исследовать функцию, построить график.
Решение:
Первая производная:
Вторая производная:
Исследование функции:
1)Область определения
2)Область значений
3)Функция является ни чётной, ни нечётной, т.к.
4) Найдем точки пересечения с осями:
Точка пересечения с осью Оу – (1;0)
Точка пересечения с осью Оx – (0; -1)
5)Найдем критические точки и интервалы монотонности функции. Вычислим производную и, приравняв к 0 найдем критические точки:
;
Корни не найдены, экстремумов у функции нет.
Функция возрастает на всей области определения, так как
6) Промежутки вогнутости и выпуклости функции и точки перегиба.
Перегибов у функции нет.
7) Найдем асимптоты:
, следовательно - вертикальная асимптота
, следовательно - горизонтальная асимптота
8) Построим график функции
Задание 2
1) Найти частные производные первого и второго порядка функции z(x,y).
2) Исследовать функцию на экстремум.
3).Исследовать функцию на условный экстремум при условии: х+у=1.
Частные производные первого порядка:
, аргумент y считается постоянным.
, аргумент х считается постоянным.
Частные производные второго порядка:
Исследование функции на экстремум
Решим систему двух уравнений:
Получаем:
. Подставляем полученный у в выражение для х, получаем х=-1.
Количество критических точек равно 1.
M(-1;-2) – стационарная точка.
Далее исследуем стационарную точку. Вычисляем в стационарной точке. Поскольку , то в стационарной точке экстремума нет.
3). Для исследования на условный экстремум из условия х+у=1 выразим у=1-х и, под