Курсовая на тему Принципы и закономерности исследования и моделирования экономических систем

Содержание

Введение 3
1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ 4
1.1. Процесс моделирования в экономике 4
1.2. Геометрическая интерпретация 5
2. ПРИНЦИПЫ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ 21
2.1. Закономерности методов и моделей в экономике 21
2.2. Принципы методов и моделей 28
3. ПОРЯДОК РАЗРАБОТКИ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПО ОПТИМИЗАЦИИ ОТРАСЛЕВОЙ СТРУКТУРЫ ПРОИЗВОДСТВА 34
3.1. Экономико-математическая модель по оптимизации отраслевой структуры производства 34
3.2. Анализ результатов решения задачи 50
Заключение 52
Список используемой литературы 53
Приложение 55

Введение

Развитие современного общества характеризуется повышением технического уровня, усложнением организационной структуры производства, углублением общественного разделения труда, предъявлением высоких требований к методам планирования и хозяйственного руководства. В этих условиях только научный подход к руководству экономической жизнью общества позволит обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства.
Одним из необходимых условий дальнейшего развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики. В настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение в экономических исследованиях и планировании. Этому способствует развитие таких разделов математики, как математическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники. Уже накоплен достаточный опыт постановки и решения экономических задач с помощью математических методов. Особенно успешно развиваются методы оптимального планирования, которые и составляют сущность математического программирования.
Одной из основных становится задача создания единой системы оптимального планирования и управления народным хозяйством на базе широкого применения математических методов и электронно-вычислительной техники в экономике.
Основной целью написания курсовой работы является всесторонний анализ математических методов и моделей в экономике.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ

1.1. Процесс моделирования в экономике

Коммерческая деятельность в том или ином виде сводится к решению таких задач: как распорядиться имеющимися ресурсами для достижения наибольшей выгоды или какое следует предпринять действие для получения возможно лучшего финансового результата. Для этого требуется перевод задач коммерческой деятельности на математический язык. В этом и состоит одна из проблем овладения искусством математического моделирования.
Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез. Модели могут быть физическими, аналоговыми и математическими. Они могут быть представлены в виде графиков, рисунков, математических соотношений, макетов, различного рода механических, электрических и прочих устройств.
По конкретному предназначению, т. е. по цели создания и применения, выделяют несколько видов моделей. Рассмотрим оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребления.
Математическое моделирование экономических процессов, тесно связанное с компьютеризацией, в последние десятилетия является наиболее быстро развивающимся направлением экономической науки и ее важнейших приложений.
В тех случаях, когда модель содержит t уравнений, для построения опорных решений используются t переменных, принимающих некоторые положительные значения при нулевых значениях остальных свободных переменных. Вычислительная процедура может быть представлена в виде следующей последовательности. Итеративный переход от одного допустимого базисного решения проводится направленно от одной вершины области допустимых решении к другой, заключающегося в обмене базисных и свободных переменных: базисная переменная приравнивается к нулю и переходит в свободную, а соответственно свободная переменная переводится на место базисной. Если в столбце свободных членов все элементы положительны, то решение является допустимым. Если в строке целевой функции все элементы неотрицательные, то решение является оптимальным при решении задачи на максимум.
В соответствии с симплексным методом на первом шаге находят начальное опорное решение – допустимый вариант, удовлетворяющий всем ограничениям. Затем последовательно за определенное число итераций направленно осуществляется переход от одного опорного решения к другому вплоть до оптимального. Следует заметить, что на первом шаге в качестве базисных переменных следует выбрать такие t переменные, каждая из которых входит только один раз в одно из t уравнений системы, при этом нет таких уравнений системы, в которые не входит ни одна из них.

1.2. Геометрическая интерпретация

Допустимое множество базисных решений системы линейных уравнений образует в объеме многогранное тело, например тетраэдр, вершины которого – угловые точки. Каждой угловой точке многогранника решений соответствует опорный план (допустимое базисное решение). Количество перебираемых допустимых базисных решений можно сократить и проводить не беспорядочный перебор, а последовательный по специальному алгоритму, улучшая значение целевой функции. Методы решения задач коммерческой деятельности по угловым точкам области допустимого решения, улучшающих значение целевой функции до тех пор, пока целевая функция не достигнет оптимального значения.
Симплексный метод основан на последовательном переходе от одного базисного решения (опорного плана) задачи линейного программирования к другому опорному плану, при этом значение целевой функции изменяется в лучшую сторону.
Cоответствия геометрических и алгебраических определений представлены в таблице:

Геометрическое определение
Алгебраическое определение (симплекс метод)

Пространство решений
Ограничения модели в стандартной форме

Угловые точки
Базисное решение задачи в стандартной форме




Рис. 1

На рисунке 1 приведен пример некоторого множества допустимых решений ЗЛП с тремя ограничениями типа неравенства и условиями неотрицательности обеих оптимизационных переменных. Любое ограничение типа неравенства разделяет всю плоскость на две полуплоскости. Графически это изображено прямой линией со штриховкой в сторону полуплоскости, где ограничение выполняется. Ограничения типа равенства определяет множество точек, находящихся на соответствующей прямой.
На рис. 1 видно, что множество допустимых решений ЗЛП для случая двух переменных представляет собой выпуклый многогранник, ограниченный прямыми. Несложно представить, что в задаче с тремя переменными допустимое множество в общем случае будет не плоским, а объёмным выпуклым многогранным множеством, ограниченным плоскостями. В n-мерном случае множество D также представляет собой выпуклое многогранное множество, ограниченное гиперплоскостями.
Геометрическая интерпретация перестает быть пригодной при числе свободных переменных n – m > 3, а затруднительна уже при n – m = 3. Для нахождения решения задачи линейного программирования в общем случае (при произвольном числе свободных переменных) применяются не геометрические, а вычислительные методы. Из них наиболее универсальным является симплекс-метод.
Пример решения задачи симплекс-методом
Рассмотрим алгоритм симплексного метода на примере решения задачи планирования товарооборота предприятия торговли. Требуется определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую торговому предприятию максимум прибыли.
Условие задачи
Машиностроительное предприятие для изготовления пяти видов продукции использует токарное,фрезерное, сверлильное, расточное и шлифовальное оборудование, а также готовые комплектующие изделия.
Производимая на машиностроительном предприятии сборка готовых изделий требует выполнения определённых сборочно-наладочных работ. Нормы затрат всех видов имеющихся на предприятии ресурсов, затрачиваемых на изготовление одного изделия каждого из пяти видов, приведены в таблице 1.1.
В этой же таблице указаны наличный фонд каждого из ресурсов на машиностроительном предприятии, а кроме того, прибыль от реализации единицы продукции каждого из пяти видов и ограничения на возможный выпуск продукции второго и третьего видов.
Найти план выпуска продукции, при котором прибыль от её реализации является максимальной.
При определении плана выпуска следует учесть также то, что минимальное количество продукции второго вида 50 штук, а максимальное количество продукции третьего вида – 140 штук.
Таблица 1.1.
Ресурсы
Нормы затрат на изготовление одного изделия вида
Общий объем ресурсов


1
2
3
4
5


Производительность оборудования, чел.-ч:







– токарного
345
450
-
437
-
86370

– фрезерного
35
40
25
30
20
5300

– сверлильного
77
98
142
68
85
21260

– расточного
143
112
131
122
81
27430

– шлифовального
-
146
46
54
82
9453

Комплектующие изделия, шт.
8
4
6
7
5
478

Сборочно-наладочные работы, чел.-ч
4,7
6,4
3,8
5,1
4,5
894

Прибыль от реализации одного изделия, руб.
800
366
510
347
789
-


Построение математической модели оптимизации выпуска продукции торгового предприятия

Обозначим через х1, х2, х3, х4 и х5 – объемы производимой предприятием продукции 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 5-го вида соответственно. Из условия следует, что для производства этих объемов продукции требуется использовать ресурсы:
токарного вида в объеме:

345х1+450х2+437x4;

фрезерного вида в объеме:

35х1 +40х2+25x3+30x4+20x5;

сверлильного вида в объеме:
77х1 + 98х2+142x3+68x4+85x5;

расточного вида в объёме:

143x1+112x2+131x3+122x4+81x5;

шлифовального вида в объёме:

146x2+46x3+54x4+82x5;

Комплектующие изделия:

8x1+4x2+6x3+7x4+5x5;

Сборочно-наладочные работы:

4,7x1+6,4x2+3,8x3+5,1x4+4,5x5.

Расход ресурсов не может превышать их максимально возможный размер, следовательно, имеем ограничения:

345х1+450х2+437x4 ? 86370,
35х1 +40х2+25x3+30x4+20x5 ? 5300,
77х1 + 98х2+142x3+68x4+85x5 ? 21260,
143x1+112x2+131x3+122x4+81x5 ? 27430,
146x2+46x3+54x4+82x5 ? 9453,
8x1+4x2+6x3+7x4+5x5 ? 478,
4,7x1+6,4x2+3,8x3+5,1x4+4,5x5 ? 894.

Известно, что минимальное количество продукции второго вида 50 штук, а максимальное количество продукции третьего вида – 140 штук. Необходимо добавить ограничения:

х2 ? 50 и х3 ? 140.

Еще одно неявное ограничение состоит в том, что переменные х1, х4 и х5 должны быть неотрицательны, т.е.

х1 ? 0, х4 ? 0 и х5 ? 0.

Ограничения на использование заданных запасов ресурсов приводят к системе неравенств, определяющей множество производственных возможностей предприятия.

345х1+450х2+437x4 ? 86370,
35х1 +40х2+25x3+30x4+20x5 ? 5300,
77х1 + 98х2+142x3+68x4+85x5 ? 21260,
143x1+112x2+131x3+122x4+81x5 ? 27430,
146x2+46x3+54x4+82x5 ? 9453,
8x1+4x2+6x3+7x4+5x5 ? 478,
4,7x1+6,4x2+3,8x3+5,1x4+4,5x5 ? 894,
х1 ? 0, х2 ? 50, х3 ? 140, х4 ? 0 и х5 ? 0.

Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия. В нашем примере это получение максимальной прибыли от реализации произведенной продукции.
Обозначим функцию размера прибыли через Z,

Z = 800х1+366х2+510х3+347х4+789х5.
Основная цель предприятия может быть выражена так: максимизировать целевую функцию

Z = 800х1 + 366х2+510х3+347х4+789х5.

Перепишем это условие в следующей форме:

Z = 800х1 + 366х2+510х3+347х4+789х5 ( max.

Таким образом, математическая модель оптимизации выпуска продукции может бытьзаписана в следующем виде. Найти неизвестные значения переменных х1, х2, х3, х4 и х5, удовлетворяющие ограничениям:

345х1+450х2+437x4 ? 86370,
35х1 +40х2+25x3+30x4+20x5 ? 5300,
77х1 + 98х2+142x3+68x4+85x5 ? 21260,
143x1+112x2+131x3+122x4+81x5 ? 27430,
146x2+46x3+54x4+82x5 ? 9453,
8x1+4x2+6x3+7x4+5x5 ? 478,
4,7x1+6,4x2+3,8x3+5,1x4+4,5x5 ? 894,

х1 ? 0, х2 ? 50, х3 ? 140, х4 ? 0 и х5 ? 0,

и доставляющих максимальное значение целевой функции:

Z = 800х1 + 366х2+510х3+347х4+789х5 ( max.

Построенная модель является задачей линейного программирования. Любое решение, удовлетв